Технологическая автоматизация

Методы цифровых технологий

Свойства условных вероятностей

Пусть имеются две векторные случайные величины порядка n и m соответственно.

Пусть далее у них имеется совместная плотность распределения вероятностей где x и y - аргументы функции плотности, представляющие собой векторы той же размерности, что и .

Условной плотностью распределения случайной величины при условии, что реализация вектора , будет функция

.

Условным математическим ожиданием случайного вектора при условии называются первые моменты от условной плотности распределения

=,

где представляет собой сокращенное обозначение n-кратного интеграла .

Из определенных выше выражений вытекает известная формула для условных математических ожиданий

Которая получается из следующей цепочки равенств:

Вторые центральные моменты от функции условной плотности распределения образуют ковариационную матрицу условного распределения

.

Рассмотрим теперь следующую задачу. По реализации случайного вектора нужно построить оценки для элементов неизвестного для наблюдателя случайного вектора . При этом оценки представляющие собой фукции от аргумента , должны удовлетворять условию минимума дисперсии для погрешности оценивания

Минимум в последнем соотношении берется по всем всевозможным видам функции Докажем, что функцией на которой реализуется минимум, будет условное математическое ожидание

Доказательство следует из цепочки равенств

=,

Где , положительная и не зависящая от выбора функции величина.

Выражение достигает своего минимума при .

Итак, оценка , оптимальная в смысле наименьшей дисперсии, совпадает с условным математическим ожиданием.

Далее для краткости записи для обозначения случайных величин , их плотностей, математических ожиданий и ковариационных матриц мы будем применять конкретные реализации

Рассмотрим теперь задачу на определение условной гауссовской плотности вероятности. Пусть задан нормальный случайный вектор , состоящий из двух векторов z и y, размерности которых n и m соответственно. Математические ожидания этих векторов, а также ковариационные матрицы считаются известными. Также считаем, что , т.е. случайный вектор y является невырожденным. Перейти на страницу: 1 2

Другие статьи по теме:

Датчики в строительстве Для проведения качественных строительных и ремонтных работ во все времена строители использовали различные измерительные приборы, ведь только они могли указать невидные человеческому гла ...

Исследование влияния параметров движения объекта, находящегося за препятствием, на эффективность улучшения его радиоголографического изображения методом пространственной фильтрации моделирование изображение радиоголографический компьютерный Тема работы весьма актуальна, поскольку в наше время может возникнуть необходимость в обнаружении людей, объектов за различными ...

Источник питания с микроконтроллером Микроконтроллеры используются во всех сферах жизнедеятельности человека, устройствах, которые окружают его. Простота подключения и большие функциональные возможности делает его при ...