Технологическая автоматизация

Методы цифровых технологий

Преобразование Лапласа. Понятие передаточной функции звеньев

Преобразованием Лапласа называется выражение:

где вещественной переменной, являющейся функцией X(t) соответствует ее изображение X(P), которое является переменной или функцией комплексного переменного P=a+ib,

X(t)-оригинал функции,X(P)-его изображение:

L{X(t)}=X(P);

Свойства оригинала:

1. кусочно-дифференцируема на Свойства изображения:

1. Линейность L{f1(t)+f2(t)}=F1(P)+F2(P);

2. Дифференцирование оригинала L{X(n)(t)}=PnL{X(t)}=PnX(P);

Интегрирование оригинала:

1. Теорема запаздывания: Если аргумент оригинала имеет какой-то временной сдвиг, то:

L{X(t-t)}= {X(t)}= e-ptL X(P);

2. Теорема о свертке (умножение оригиналов):

1. Теорема разложения: Если изображение определяется отношением полинома A(P)/B(P)=X(P), то оригинал должен быть дробно-рациональным, т.е. степень числителя меньше степени знаменателя:

где Pk -корни уравнения B(P), nk-число кратных корней, l-число различных корней;

Обратное преобразование:

Дифференцированию и интегрированию оригинала соответствуют алгебраические операции над их изображениями, это свойство используют для решения обычных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, сначала уравнение преобразовывают по Лапласу, после чего получают алгебраическое уравнение относительно изображений.

Входные и выходные процессы в системах управления и регулирования, а также управления состояния могут быть представлены в форме дифференциальных уравнений. В общем виде дифференциальное уравнение относительно входного и выходного воздействия можно записать в виде:

После преобразования Лапласа:

Это преобразование возможно при нулевых начальных условиях.

W(P)-передаточная функция -это отношение выходной величины по Лапласу к изображению входной величины при нулевых начальных условиях:

Другие статьи по теме:

Исследование и разработка конструкции широкополосного симметрирующего устройства На сегодняшний день развитие НТП (научно технический прогресс) в области электроники все чаще приводит к созданию новых типов электронных приборов и к возможности проектирования на их ос ...

Усилитель мощности и звуковых частот В данной курсовой работе необходимо спроектировать прибор «Усилитель мощности и звуковых частот» и разработать комплект конструкторской документации на него. Необходимо провести расчет т ...

Генератор линейно-изменяющихся напряжений Генераторы синусоидального напряжения отличаются тем, что у них цепь обратной связи имеет резонансные свойства. Поэтому условия возникновения колебаний выполняются только на одной частот ...